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[主观题]

设α1,α2,···,αn是n维欧氏空向Rn的一组基。证明:(1)若γ∈Rn,有(γ,αi

设α1,α2,···,αn是n维欧氏空向Rn的一组基。证明:

(1)若γ∈Rn,有(γ,αi)=0,i=1,2,...,n,则γ是零向量;

(2)若γ1,γ2∈Rn,使对Rn中任意向量α,均有<γ1,α>=<γ2,α>,那么γ12

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第1题
设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2

设α1,α2,···,αm是n维欧氏空间V中一组向量,而

证明:当且仅当|△|≠0时,α1,α2,···,αm线性无关。

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第2题
设V是一个欧氏空间,α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V,规定证明:τ是V的一个正交变换,且τ2=t,t是

设V是一个欧氏空间,α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V,规定

证明:τ是V的一个正交变换,且τ2=t,t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时,证明存在V的一个标准正交基,使得τ关于这个基的矩阵有形状:

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

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第3题
设T为n维欧氏空间Rn的一个线性变换,T在基{α1,α2,···,αn}下的矩阵为A。证明:T为对称变换的充要条件是ATG=GA,其中G为基{α1,α2,···,αn}的格拉姆矩阵。

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第4题
令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令K叫作一个n一方体.如果每一x≇

令γ1,γ2,···,γn是n维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K叫作一个n一方体.如果每一xi都等于0或1,ξ就叫作K的一个顶点。K的顶点间一切可能的距离是多少?

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第5题
证明:奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值。

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第6题
1)证明:欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的;2)利用上述结果证明:任一欧氏空间都存在标准正交基。

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第7题
设α1,α2,…,αs均为n维向量,问:在什么条件下,β1,β2,…,βs是线性无关的?

设α1,α2,…,αs均为n维向量,问:在什么条件下,β1,β2,…,βs是线性无关的?

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第8题
设(γ1,γ2,...,γn)是n维向量空间V的一个基。并且α1,α2,···,αn线性无关。

设(γ1,γ2,...,γn)是n维向量空间V的一个基。

并且α1,α2,···,αn线性无关。又设σ是V的一个线性变换,使得σ(αj)=βj,j=1,2,...,n。求σ关于基γ1,γ2,...,γn的矩阵。

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第9题
设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵(1)计算并化简PQ;(2)证明Q可逆的充要条件α
设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵(1)计算并化简PQ;(2)证明Q可逆的充要条件α

设A是n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵

(1)计算并化简PQ;

(2)证明Q可逆的充要条件αTA-1α≠b。

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第10题
设A是一个n级矩阵,证明:1)A是反称矩阵当且仅当对任一个n维向量X,有X'AX=0;2)如果A是对称矩阵,且对任一个n维向量X有X'AX=0,那么A=O。

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