四叉树（quadtree)是2d-树的简化形式，其简化策略包括：①直接沿区域的（水平或垂直)平分线切分，从

四叉树(quadtree)是2d-树的简化形式，其简化策略包括：

①直接沿区域的(水平或垂直)平分线切分，从而省略了中位点的计算;

②沿垂直方向切出的每一对节点(各自再沿水平方向切分)都经合并后归入其父节点;

③被合并的节点即便原先(因所含输入点不足两个)而未继续切分，在此也需要强行(沿水平方向)切分一次。

于是如图x8.8所示，每个叶节点各含0至1个输入点;每个内部节点则都统一地拥有四个孩子，分别对应于父节点所对应矩形区域经平均划分之后所得的四个象限，该树也由此得名。

a)与kd-树不同，四叉树可能包含大量的空(即不含任何输入点的)节点。更糟糕的是，此类节点的数目无法仅由输入规模n界定。对于任意的N＞0，试构造一个仅含n=3个点的输入点集，使得在其对应的四叉树中，空节点的数目超过N个。

b)对于任一输入点集P，若将其中所有点对的最长、最小距离分别记作D和d，则λ=D/d称作P的散布度(spread)，试证明，P所对应的四叉树高度为o(logλ)。

c)试基于四叉树结构设计相应的范围查询算法，并利用你的四叉树结构实现该算法。

d)针对范围查询这一应用，试分别从时间、空间效率的角度，将四叉树与2d-树做一比较。