求,其中Ω:1≤x2+y2+z2≤4,x≥0,y≥0,z≥0.
求,其中Ω:1≤x2+y2+z2≤4,x≥0,y≥0,z≥0.
求,其中Ω:1≤x2+y2+z2≤4,x≥0,y≥0,z≥0.
用柱面坐标或球面坐标把三重积分f(x,y,z)dV化为三次积分,其中Ω分别是由如下各组不等式所确定的区域:
(1)z≥x2+y2,z≤2-√(x2+y2);
(2)x2+y2+z2≤a2,x2+y2+z2≤2az;
(3)x2+y2+z2≤a2,z2≤3(x2+y2);
(4)x2+y2+z2≤a2,x≥0,y≥0,z≤0。
求,其中∑为x2+y2+z2=1被z=√(x2+y2)所截的顶部。
计算下列三重积分:
(1),其中Ω是两个球:x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rr(R>0)的公共部分;
(2),其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域;
(3),其中Ω是由xOy平面上曲线y2=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域.
已知某消费者关于x、Y两商品的效用函数为,其中x、y分别为对商品X、Y的消费量。
(1)求该效用函数关于X、Y两商品的边际台代率表达式。
(2)在总效用水平为6的无差异曲线上,岩x=3,求相应的边际替代率。
(3)在总效用水平为6的无差异曲线上,若x=4,求相应的边际替代率。
(4)该无差异曲线的边际替代率是递减的吗?
利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分:
(1)ydx+zdy+xdz,其中C是球面x2+y2+z2=a2与平面x+2y+z=0的交线,且C的正向由x+2y+z=0上侧的法线方向按右手法则来确定。
(2)(y2+z2)dx+(x2+z2)dy+(y2+x2)dz,其中C是平面x+y+z=1与三个坐标平面的交线,且从原点看去取逆时针方向。
(3)x2y3dx+dy+zdz,其中C是平面y2+z2=1与x=y所交椭圆的正向。
在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对X=(x1,x2,x3,x4),Y=(y1,y2,y3,y4),f(X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3y4-x4y3。
1)给定p4的一组基
求f(X,Y)在这组基下的度量矩阵;
2)另取一组基η1,η2,η3,η4
其中
求f(X,Y)在η1,η2,η3,η4下的度量矩阵。