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[主观题]
设＜ R,+,·＞是一个环，且对所有a∈R有a2=a，这样的环称为布尔环。 （a)证明＜ R,+,·＞是个可交换环。 （b)证明对于所有的a∈R,有a+a=0， （c)试证明,如果|R|＞2,则＜ R,+,·＞不可能是个整环。
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可否断定{A1,A2,...,Ak}为A的一个划分？若可以,请证明它确为A的划分;若不可以,请补适当条件,以使上述断言成立.
设R与R'是环，f：R→R'是一个同态映射。证明：
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(i)I=Kerf={a∈R|f(a)=0}是R的一个子环，并且对于任意r∈R，a∈I，都有ra∈I。
如果R与R'都有单位元。能不能断定f(1R)是R'的单位元1R？当f是满射时，f(1R)是不是R'的单位元？
设
是一个实矩阵且ad-bc=1。证明：
(i)如果|trA|＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得
这里λ∈R且λ≠0，1，-1;
(ii)如果|trA|=2且A≠±1，那么存在可逆实矩阵T，使得
(iii)如果|trA|＜2，则存在可逆实矩阵T及θ∈R，使得
当且仅当xv=yu,证明R是一个等价关系.
