题目内容
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证明若函数项级数
在区间I一致收敛(亦称
在区间I绝对一致收敛),函数列{gn(x)}在区间I一致有界,则函数项级数
在区间I一致收敛.
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证明:函数项级数
在区间[-a,a](a＞0)一致收敛,在R非一致收敛.
求幂级数
在收敛区间(-1，1)内的和函数，并求常数项级数
的和。
证明:若函数项级数
在[a,b]一致收敛于和函数S(x),且
函数un(x)在[a,b]可积,则和函数S(x)在[a,b]也可积.
关于正项级数还有如下的柯西积分审敛法.
对于正项级数
如果有区间[1,+∞)上的连续的单调减少函数f(x)适合
则级数
与反常积分
同时收敛或发散.
(1)试用关于正项级数的基本定理证明该判别法;
(2)试证当级数收敛时,其n项后的余项
(3)利用柯西积分判别法讨论级数
的收敛性.
设每一项φn(x)都是[a, b]上的单调函数，如果
在[ a, b]的端点为绝对收敛，那么这级数在[a,b]上一致收敛.
将函数f(x)=x2(0≤x≤π)展开成以2π为周期的余弦级数,并问:
(I)级数在点x=3π收敛于何值？
(II)
(III)
证明:若f,g均为[-π,π]上可积函数,且它们的傅里叶级数在[-π,π]上分别一致收敛于f和g,则
其中an,bn为f的傅里叶系数,an,βn为g的傅里叶系数.
将函数f(x)=x(x-π)展开成以2π为周期的傅里叶级数,并回答:
(I)级数在点x=±π和x=2π分别收敛于何值？(II)
证明:若
其中函数f(x)在R连线,则函数列{fn(x)}在任意区间[a,b]都一致收敛.
设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=
证明函数列{fn}在(a,b)内一致收敛于f.
